คณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เป็นช่วงสำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลาย เพราะเนื้อหาจะเริ่มมีความซับซ้อนมากขึ้น และต้องนำความรู้จากหลายบทมาเชื่อมโยงกัน นักเรียนจะได้ฝึกทั้งการคำนวณ การวิเคราะห์กราฟ การแก้สมการ การพิสูจน์ และการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์กับสถานการณ์ต่าง ๆ

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 แบ่งออกเป็น 2 กลุ่มหลัก ได้แก่

• คณิตศาสตร์เพิ่มเติม สำหรับนักเรียนแผนการเรียนวิทยาศาสตร์–คณิตศาสตร์ หรือผู้ที่ต้องการเตรียมสอบในระดับสูง

• คณิตศาสตร์พื้นฐาน สำหรับนักเรียนทุกแผนการเรียน โดยเน้นเนื้อหาที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันและการศึกษาต่อ

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 เทอม 1

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นการต่อยอดจากเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เคยเรียนในระดับมัธยมต้น โดยในระดับ ม.5 นักเรียนจะไม่ได้ศึกษาเฉพาะรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น แต่จะเรียนรู้ค่าตรีโกณมิติของมุมทุกขนาด รวมถึงกราฟ สมการ และการประยุกต์ใช้

เนื้อหาที่เรียน

• การวัดมุมในหน่วยองศาและเรเดียน

• ความสัมพันธ์ระหว่างองศาและเรเดียน

• วงกลมหนึ่งหน่วย

• ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

• ค่าของโคเซแคนต์ เซแคนต์ และโคแทนเจนต์

• เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแต่ละควอดแรนต์

• ค่าตรีโกณมิติของมุมมาตรฐาน

• มุมที่สัมพันธ์กัน

• กราฟของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

• คาบ แอมพลิจูด และการเลื่อนกราฟ

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม

• สูตรมุมสองเท่า

• สูตรมุมครึ่งหนึ่ง

• เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

• การพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

• สมการตรีโกณมิติ

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

• กฎของไซน์

• กฎของโคไซน์

• การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมโดยใช้ตรีโกณมิติ

• การประยุกต์หาระยะทาง ความสูง และมุมเงยหรือมุมก้ม

นักเรียนควรทำอะไรได้หลังเรียนจบบทนี้

• หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่าง ๆ

• วาดและวิเคราะห์กราฟตรีโกณมิติ

• แก้สมการตรีโกณมิติ

• พิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

• ประยุกต์ใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ในการแก้โจทย์

บทที่ 2 เมทริกซ์

เมทริกซ์เป็นวิธีการจัดข้อมูลให้อยู่ในรูปตารางที่ประกอบด้วยแถวและหลัก สามารถนำไปใช้ในการแก้ระบบสมการ การคำนวณข้อมูล และการประยุกต์ในด้านวิศวกรรม คอมพิวเตอร์ เศรษฐศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ข้อมูล

เนื้อหาที่เรียน

• ความหมายของเมทริกซ์

• สมาชิกของเมทริกซ์

• แถว หลัก และมิติของเมทริกซ์

• การเท่ากันของเมทริกซ์

• เมทริกซ์แถว

• เมทริกซ์หลัก

• เมทริกซ์จัตุรัส

• เมทริกซ์ศูนย์

• เมทริกซ์เอกลักษณ์

• เมทริกซ์ทแยงมุม

• เมทริกซ์สามเหลี่ยม

• เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

• การบวกและการลบเมทริกซ์

• การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

• การคูณเมทริกซ์

• สมบัติของการดำเนินการของเมทริกซ์

• ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

• ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3

• ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

• เมทริกซ์ผกผัน

• การดำเนินการตามแถว

• เมทริกซ์แต่งเติม

• การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์

• การใช้กฎของคราเมอร์

นักเรียนควรทำอะไรได้หลังเรียนจบบทนี้

• ดำเนินการบวก ลบ และคูณเมทริกซ์ได้

• หาดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน

• แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเมทริกซ์

• วิเคราะห์ได้ว่าเมทริกซ์แต่ละชนิดมีสมบัติอย่างไร

บทที่ 3 เวกเตอร์

เวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง แตกต่างจากจำนวนทั่วไปที่มีเฉพาะขนาด เนื้อหาเรื่องเวกเตอร์มีความสำคัญต่อการเรียนฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ คอมพิวเตอร์กราฟิก และเรขาคณิตสามมิติ

เนื้อหาที่เรียน

• ความหมายของสเกลาร์และเวกเตอร์

• ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์

• การเขียนแทนเวกเตอร์

• เวกเตอร์ที่เท่ากัน

• เวกเตอร์นิเสธ

• เวกเตอร์ศูนย์

• การบวกเวกเตอร์

• การลบเวกเตอร์

• การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

• เวกเตอร์ในระบบพิกัดสองมิติ

• เวกเตอร์ในระบบพิกัดสามมิติ

• เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

• การหาเวกเตอร์จากจุดสองจุด

• การหาขนาดของเวกเตอร์

• เวกเตอร์ขนาน

• เวกเตอร์ตั้งฉาก

• ผลคูณเชิงสเกลาร์ หรือ Dot Product

• การหามุมระหว่างเวกเตอร์

• การฉายเวกเตอร์

• ผลคูณเชิงเวกเตอร์ หรือ Cross Product

• การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

• การหาปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

• การประยุกต์เวกเตอร์กับโจทย์เรขาคณิต

นักเรียนควรทำอะไรได้หลังเรียนจบบทนี้

• บวก ลบ และคูณเวกเตอร์ได้

• หาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์

• หามุมระหว่างเวกเตอร์

• ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ขนานหรือตั้งฉากกัน

• ประยุกต์เวกเตอร์ในการหาพื้นที่และปริมาตร

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 เทอม 2

บทที่ 4 จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเกิดจากการขยายระบบจำนวนจริง เพื่อให้สามารถหาคำตอบของสมการบางประเภทที่ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงได้ เช่น สมการที่มีรากที่สองของจำนวนลบ

เนื้อหาที่เรียน

• ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

• หน่วยจินตภาพ (i)

• สมบัติของ (i)

• ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

• การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน

• การบวกจำนวนเชิงซ้อน

• การลบจำนวนเชิงซ้อน

• การคูณจำนวนเชิงซ้อน

• การหารจำนวนเชิงซ้อน

• สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

• ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

• ระนาบเชิงซ้อน

• การแทนจำนวนเชิงซ้อนด้วยจุดและเวกเตอร์

• รูปเชิงขั้ว

• อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

• การเปลี่ยนจากรูป (a+bi) เป็นรูปเชิงขั้ว

• การคูณและการหารในรูปเชิงขั้ว

• ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์

• การยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน

• การหารากที่ (n) ของจำนวนเชิงซ้อน

• สมการพหุนามที่มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน

นักเรียนควรทำอะไรได้หลังเรียนจบบทนี้

• คำนวณจำนวนเชิงซ้อนในรูปต่าง ๆ

• เขียนจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบเชิงซ้อน

• เปลี่ยนรูปพีชคณิตเป็นรูปเชิงขั้ว

• ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์

• แก้สมการพหุนามที่มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน

บทที่ 5 หลักการนับเบื้องต้น

หลักการนับเป็นเครื่องมือที่ช่วยหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้โดยไม่ต้องเขียนแจกแจงทุกกรณี เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานสำคัญของความน่าจะเป็นและสถิติ

เนื้อหาที่เรียน

• หลักการบวก

• หลักการคูณ

• แผนภาพต้นไม้

• แฟกทอเรียล

• การเรียงสับเปลี่ยน

• การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกัน

• การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่มีบางสิ่งเหมือนกัน

• การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเงื่อนไข

• การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

• การจัดหมู่

• ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

• การแบ่งกลุ่ม

• การเลือกโดยมีเงื่อนไข

• ทฤษฎีบททวินาม

• การกระจายทวินาม

• การหาพจน์ทั่วไป

• การหาสัมประสิทธิ์ของพจน์

• สามเหลี่ยมปาสกาล

นักเรียนควรทำอะไรได้หลังเรียนจบบทนี้

• เลือกใช้หลักการบวกและหลักการคูณได้ถูกต้อง

• แยกแยะโจทย์เรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่

• แก้โจทย์การจัดเรียงแบบมีเงื่อนไข

• ใช้ทฤษฎีบททวินามหาพจน์และสัมประสิทธิ์

บทที่ 6 ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นเป็นการวัดโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ โดยใช้ความรู้เรื่องเซตและหลักการนับมาช่วยวิเคราะห์จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดและจำนวนผลลัพธ์ที่สนใจ

เนื้อหาที่เรียน

• การทดลองสุ่ม

• ผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม

• ปริภูมิตัวอย่าง

• เหตุการณ์

• เหตุการณ์อย่างง่าย

• เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

• เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน

• เหตุการณ์ตรงข้าม

• ยูเนียนของเหตุการณ์

• อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์

• ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

• กฎการบวกของความน่าจะเป็น

• การใช้แผนภาพเวนน์กับความน่าจะเป็น

• การใช้หลักการนับหาความน่าจะเป็น

• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเบื้องต้น

• เหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน

• การประยุกต์ความน่าจะเป็นกับโจทย์ในชีวิตประจำวัน

นักเรียนควรทำอะไรได้หลังเรียนจบบทนี้

• เขียนปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์

• หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

• ใช้หลักการนับร่วมกับความน่าจะเป็น

• วิเคราะห์เหตุการณ์ตรงข้าม ยูเนียน และอินเตอร์เซกชัน

• แก้โจทย์ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเบื้องต้น

สรุปคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5